求极限

函数

x接近3时的极限接近值

$$\lim_{x\longrightarrow 3} x^{2}+3$$

= 3²+3
= 12

x接近0时的极限接近值

$$\lim_{x\longrightarrow 0} sin\ x$$

= sin 0
= 0

例题

结果为无穷比无穷时

方法：

1. 只保留分子和分母中含x的指数最大的项

2. 分子分母同时求导（洛必达法则）

结果为0比0时

方法1. 简化后运算

lim式子里的复杂项	可换成
$\sin \bigtriangleup ，tan\ \bigtriangleup ，arcsin\ \bigtriangleup ，arctan\ \bigtriangleup ，e^{\Delta }-1，ln\left( 1+\Delta \right)$	$\Delta$
$1-cos\Delta$	$\frac{1}{2} \Delta^{2}$
$\left( 1+\Delta \right)^{\alpha } -1$	$\alpha -\Delta$
$a^{\Delta }-1$	$\Delta -lna$

方法2. 分子分母同时求导（洛必达法则）

例题1

$$\lim_{x\longrightarrow \infty } \frac{x^{100}+x}{x^{1000}+2x} = \frac{\infty }{\infty }$$

根据方法1进行处理：

$$\lim_{x\longrightarrow \infty } \frac{x^{100}}{x^{1000}} = \lim_{x\longrightarrow \infty }\frac{1}{x^{900}} = \lim_{x\longrightarrow \infty } \frac{1}{\infty } = 0$$

例题2

例题3

例题4

根据方法1进行处理：

$$已知0<a_{1}<2,a_{n+1}=\sqrt{a_{n}\cdot \left( 2-a_{n}\right) } ，a_{n}的取值范围$$

找出表达式对应的项1和项2

$$\frac{2}{\left( 项_1\right)^{-1} +\left( 项_2\right)^{-1} } ≤ \sqrt{\left( 项_{2}\right) \cdot \left( 项_{2}\right) } ≤ \frac{\left( 项_{1}\right) +\left( 项_{2}\right) }{2} ≤ \sqrt{\frac{\left( 项_{1}\right)^{2} +\left( 项_{2}\right)^{2} }{2} }$$

[ 倒数相加 相乘 本身相加 平方相加 ]仅当项1=项2时，各式子才相等